벨만 포드 알고리즘 정의, 예제, 구현 방식

이것이 코딩테스트다. 나동빈 신님의 강의를 바탕으로 작성하였습니다.

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벨만 포드 알고리즘

음수 간선이 포함된 상황에서의 최단 거리 문제.
  BOJ 의 '타임머신' 문제 https://acmicpc.net/problem/11657

N개의 도시가 있다. 그리고 한 도시에서 출발하여 다른 도시에 도착하는 버스가 M개 있다. 
각 버스는 A, B, C로 나타낼 수 있는데, A는 시작도시, B는 도착도시, C는 버스를 타고 이동하는데
 걸리는 시간이다. 시간 C가 양수가 아닌 경우가 있다. C = 0인 경우는 순간 이동을 하는 경우, 
C < 0인 경우는 타임머신으로 시간을 되돌아가는 경우이다.

1번 도시에서 출발해서 나머지 도시로 가는 가장 빠른 시간을 구하는 프로그램을 작성하시오.

 다익스트라 알고리즘을 이용함. 모든 간선의 비용이 양수일 때는 다익스트라 최단 경로 알고리즘을 사용함.
 
 음수 간선이 포함된다면? 최단 거리를 계산할 수 있다.
 단, 음수 간선의 순환이 포함된다면? 최단 거리가 음의 무한인 노드가 발생함.
 --> 벨만 포드 최단 경로 알고리즘

 

 

 음수 간선에 대해 최단 경로 문제는 다음과 같이 분류할 수 있음.
  1) 모든 간선이 양수인 경우
  2) 음수 간선이 있는 경우
    2-1) 음수 간선 순환이 없는 경우
    2-2) 음수 간선 순환이 있는 경우

 

 '벨만 포드 최단 경로 알고리즘'은 '음의 간선이 포함된 상황에서도 사용'할 수 있음.
  - 또한 "음의 간선의 순환"을 감지할 수 있음.
  - 벨만 포드의 기본 시간 복잡도는 O(VE)로 다익스트라 알고리즘에 비해 느림.
  V= 정점의 개수 , E = 간선의 개수

 

 

 동작 원리

  1. 출발 노드를 설정.
  2. 최단 거리 테이블을 초기화.
  3. 다음의 과정을 N-1번 반복.
   3-1) 전체 간선 E개를 하나씩 확인.
   3-2) 각 간선을 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신함.
 만약 '음수 간선 순환이 발생하는지 확인하고 싶다면' 3번의 과정을 한 번더 수행.
  - 이때 최단 거리 테이블이 갱신된다면, 음수 간선 순환이 존재한다는 것 임.

 

 

 다익스트라 알고리즘 VS 벨만 포드 알고리즘
  다익스트라 알고리즘
   '매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택'한다.
  음수 간선이 없다면 최적의 해를 찾을 수 있음.

 
  벨만포드 알고리즘
   '매번 모든 간선을 확인함.'
   따라서 다익스트라 알고리즘에서의 최적의 해를 항상 포함한다.
  다익스트라 알고리즘에 비해 시간이 오래 걸리지만 음수 간선 순환을 탐지할 수 있음.

 

 

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